第35回JMO予選は2025年1月13日に全12問・3時間で実施され、Aランクは6点以上、最高点は10点でした。 数学オリンピック財団+1
この記事では「数学オリンピック2025予選問題」を探している方に向け、第35回日本数学オリンピック（JMO）の公式解答、全12問の出題内容、前半6問の着眼点、得点分布まで順に整理します。
公益財団法人数学オリンピック財団が公開した予選問題と結果資料を事実確認の基準としています。財団の問題PDFに掲載されているのは問題と答えであり、以下の「着眼点」「考え方」は公式解説の転載ではなく、筆者が初心者の復習用に整理したものです。 数学オリンピック財団
数学オリンピック2025予選問題とは？第35回JMOの日程と形式
この記事で扱うのは、2025年1月13日（月・成人の日）13時から16時まで行われた第35回日本数学オリンピック予選です。
問題は12問、試験時間は3時間。各問1点の合計12点で、途中の証明を書く記述式ではなく、解答用紙には「答のみ」を記入する形式でした。 数学オリンピック財団
第35回JMOは、第66回国際数学オリンピック（IMO）の日本代表選手候補を選ぶ選考につながる国内大会です。予選通過後には2025年2月11日の本選が行われました。 数学オリンピック財団+1
この「答えだけを書く」という仕組みは、一般的な学校数学との大きな違いです。
途中まで正しく進んでいても最終的な答えに到達しなければ得点にはなりません。一方で、問題の構造を早い段階で見抜ければ、長い答案を書かずに1点を獲得できます。
そのためJMO予選では、「たくさん計算する力」だけではなく、与えられた条件を別の数学的な形へ言い換える力が非常に重要になります。
「2025年のJMO予選」が二つあるように見えるのはなぜ？
ここは2025年の過去問を検索する際、特に注意したいところです。
第35回JMO予選は2025年1月13日に実施されましたが、数学オリンピック財団は2025年度から予選日程を従来の1月から11月第3日曜日へ変更しました。
その結果、同じ2025年中の11月16日にも第36回JMO予選が実施されています。ただし財団の大会区分では、こちらは「2026年 第36回日本数学オリンピック」の予選です。 数学オリンピック財団+1
したがって検索結果で、
「2025年1月13日」
「2025年11月16日」
という二つの日付を見かけても、同じ大会ではありません。
この記事の対象は、2025年1月13日の第35回JMOです。
過去問を保存したり印刷したりするときは、単に「2025年」と見るのではなく、「第35回」という回次まで確認すると取り違えを防げます。
数学オリンピック2025予選の全12問は何が出た？公式解答一覧
第35回JMO予選では、場合の数、整数、敷き詰め、合同式、平面幾何、関数、グラフなど幅広い題材が12問にわたって出題されました。
財団の予選問題PDF末尾に掲載された答えと、問題内容を簡潔に整理すると次の通りです。 数学オリンピック財団+1
問題 出題内容 公式解答 復習時の着眼点
第1問 正六角形状の7マスへの整数配置 72通り 最大の7から制約を調べる
第2問 abcd＝2025と平方数条件 44個 素因数の指数の偶奇を見る
第3問 U字形ピースによる10×10の敷き詰め 512通り 同じ配置構造の繰り返しを見る
第4問 2、3、4、5、6で割った余り 49個 最小公倍数60で周期化する
第5問 円に内接・外接する四角形と内接円 15/11 同じ角をもつ三角形の相似を使う
第6問 2つの整数列と半分にする操作 1064 2で割り切れる回数で分類する
第7問 20×25格子上の経路型ゲーム (20!)³通り 最小ターン条件から構造を整理する
第8問 条件を満たす「美しい列」 2057 最大長の列の末項を最小化する
第9問 外心・垂線・交点を含む平面幾何 2√61 直角関係を一つの図へ集約する
第10問 {0,…,8}上の関数とmod 9 858個 条件を合同式として読む
第11問 星と直行便を使った有向グラフ操作 2⁶⁸(2¹⁰²−1)/3 100回の操作を構造的に捉える
第12問 円に内接する五角形と対称点 √37/10 円・平行・対称移動を統合する
ここで一つ訂正しておきたい点があります。
第8問の答え「2057」は、条件を満たす列の「個数」ではありません。
整数列を「美しい列」と定義し、その長さとして可能な最大値をNとしたうえで、長さNの美しい列における最後の項aNの最小値を求める問題です。
こうした「何を答える問題なのか」という確認は、過去問学習では意外に重要です。答えの数字だけを一覧で覚えると、問題そのものの構造を取り違えてしまうことがあります。
前半6問はどう考える？答えだけでなく「最初の一手」を見る
第1問から第6問は、難しい公式を大量に使うというより、条件を扱いやすい形へ変える最初の一手が得点を左右する問題でした。
第1問｜最大の7を先に置くと72通りまで絞れる
第1問は、正六角形状に並ぶ7個のマスへ1から7までを一度ずつ書き、辺を共有する二つのマスの和が10以下になる配置を数えます。
答えは72通りです。
この問題では、小さい数字から置こうとすると場合分けが広がってしまいます。
反対に、最も条件を強く受ける7を見ると、7と隣り合えるのは1、2、3だけです。
中央のマスは外側6マスすべてと隣接するため、7を中央に置くことはできません。
7を外周のどこへ置くかは6通り。その7に隣接する三つの場所には1、2、3が入り、並べ方は3!通りです。
残った4、5、6については、5と6が隣り合うと和が11になってしまいます。そのため4の位置が決まり、5と6の交換だけが残ります。
したがって、
6×3!×2＝72
です。
ここで覚えたいのは数字の72ではありません。
配置問題では「最も置きにくいもの」から考えると、自由度が一気に下がるという発想です。
第2問｜平方数を素因数の指数へ翻訳する
第2問は、正の整数a、b、c、dが、
abcd＝2025
を満たし、さらにab、bc、cd、daがすべて平方数になる組を数えます。
答えは44個です。
2025を素因数分解すると、
2025＝3⁴×5²
となります。
平方数では、素因数分解したときの各素数の指数が偶数です。
したがってa、b、c、dという数そのものを追いかけるより、「3の指数」「5の指数」が四つの数へどのように配分されるかを見る方が整理しやすくなります。
3の指数4を条件に合う形で分配する方法が11通り、5の指数2については4通りとなり、
11×4＝44
です。
整数問題で「平方数」が出てきたら、値ではなく指数の偶奇を見る。これは別の数論問題にも持ち運べる基本的な見方です。
第3問｜大きな敷き詰めの中に同じ構造を探す
第3問では、3n＋2マスからなるU字形のピースPnを定義し、P1、P2、P4、P5、P7、P8を1枚ずつ使って10×10を埋めます。
答えは512通りです。
一枚ずつ好きな位置へ置こうとすると、途方もない場合分けに見えます。
ところが大きなピースから配置を見ると、外側を処理したあとに、より小さな同型の領域が残ることに気づきます。
10×10の問題が一段小さい構造へ移り、さらにもう一段小さい構造へ移る。その三段階で同じ種類の選択が現れます。
結果として、
8×8×8＝512
です。
私は第35回予選前半で、この第3問が特にJMOらしいと感じます。
計算量を増やすのではなく、図全体を一段高いところから見て、繰り返されている形を探すことで複雑さを消していくからです。
第4問｜五つの余りを60周期へまとめる
第4問は、1以上1000以下の整数のうち、2、3、4、5、6で割った余りが、どの二つを取っても異なるものを数えます。
答えは49個です。
2、3、4、5、6で割った余りを毎回個別に調べるのは大変です。
そこで除数の最小公倍数である60に注目します。
条件を整理すると、該当する整数は60を法として、
35、58、59
のいずれかに合同なものへ絞られます。
1から1000まででは、60m＋35型が17個、60m＋58型が16個、60m＋59型が16個あります。
したがって、
17＋16＋16＝49
です。
余りの問題を見るときに「周期はいくつか」と考える習慣を持つと、五つの条件が一つの分類問題へ変わります。
第5問｜二つの内接円を相似の物差しにする
第5問には、円に内接すると同時に半径6の円へ外接する四角形ABCDが登場します。
さらにABとDCの延長がPで交わり、ADとBCの延長がQで交わります。三角形PBCとQCDの内接円半径が、それぞれ5と3です。
求めるのはBC/CDで、答えは15/11です。
図は複雑ですが、ポイントは同じ角の中にある円を比べることです。
点Q側では、半径3の円と半径6の円が同じ二本の直線に接しています。そのため中心Qの相似として見ることができ、半径比6：3＝2：1から、
AB＝2CD
という辺の比が得られます。
点P側でも同様に、半径5と6の比から、
BC：AD＝5：6
と整理できます。
CD＝x、BC＝5yと置けば、AB＝2x、AD＝6yです。
さらに円に外接する四角形では、向かい合う二辺の和が等しいので、
AB＋CD＝BC＋AD
です。
したがって、
2x＋x＝5y＋6y
3x＝11y
となります。
よって、
BC/CD＝5y/x＝15/11
です。
この問題では、円を「眺める対象」のままにせず、相似比を生み出す物差しとして読むことが有効です。
第6問｜数列の変化より2で割れる回数を追う
第6問は、正の整数からなる二つの数列について、一方を半分にし、その半分をもう一方へ加える操作を繰り返す問題です。
初期値(a1,b1)として可能な、40以下の正整数の組の個数を求めます。
答えは1064です。
操作を何十回も書き並べるより、それぞれの整数が「2で何回割り切れるか」に注目します。
1から40までをこの回数で分類すると、奇数は20個、2で1回だけ割れる数は10個、2回は5個、3回は3個、4回は1個、5回は1個です。
全ての順序付き組は40²＝1600組あります。
操作を無限に続けられない組に対応する、2で割れる回数が同じ組を除くと、
40²－（20²＋10²＋5²＋3²＋1²＋1²）
＝1600－536
＝1064
となります。
専門的には「2進付値」と呼ばれる考え方につながりますが、最初から名称を覚える必要はありません。
「この数は2で何回割れるか」と観察するだけでも、十分に問題の核心へ近づけます。
後半6問は何が難しい？第7問から第12問のポイント
後半6問では、一つの着眼点を見つけるだけでなく、複数の条件を同時に保ちながら論理を組み立てる力が強く求められます。
第7問は、縦20マス・横25マスの盤面で、右または上へ隣接して進むマスの列を各ターンに選び、なるべく少ないターン数で全マスを埋めるゲームです。
その最小ターン数を達成したときの数字の書き込まれ方を数え、答えは(20!)³通りでした。
単なる「道順の数」ではないところが重要です。
最小ターンという条件が加わることで、各経路を独立に数える問題ではなく、盤面全体に生まれる順序構造を捉える問題になります。
第8問は、0から始まる狭義単調増加整数列に、2025を含むことや三つの項の間の不等式を課して「美しい列」を定義します。
まず可能な列の最大長Nを考え、さらに長さNを達成する列のうち、最後の項aNの最小値を問います。
答えが2057です。
この問題では、一つの三項関係だけを見るのではなく、その条件が離れた項までどう波及するかを追う必要があります。
第9問は鋭角三角形ABCの外心O、AからBCへ下ろした垂線の足D、さらにDからAB、ACへ下ろした垂線の足E、Fなどが登場する幾何問題です。
∠AOD＝90度、OD＝4√7、AP＝11という条件からEFを求め、答えは2√61です。
点が増えると難しく見えますが、すべてを別々に追うのではなく、直角から生まれる円や相似関係へ情報をまとめることが重要になります。
第10問では、
S＝{0,1,2,…,8}
上の関数fについて、x＋y－zが9の倍数なら、f(x)f(y)－f(f(z))も9の倍数となる条件を課します。
条件を満たす関数の個数は858個です。
「9個の入力それぞれへ値を選ぶ」と考えるだけなら膨大ですが、mod 9の世界で条件を整理すると、関数値同士に強い制約がかかります。
第11問は、5個の星と一方向の直行便からなる「JMO星団」に操作を100回行う問題です。
古い直行便を星へ置き換え、新しい星の重要度を元の二つの星の重要度の和とし、さらに直行便を作り直していきます。
100回目に建設された星の重要度の総和は、
2⁶⁸(2¹⁰²−1)/3
です。
一回ずつ100回シミュレーションする問題ではありません。
操作によって「頂点が辺へ置き換わる」という変化を、グラフ全体の規則として捉える必要があります。
第12問は、円に内接する五角形ABCDE、平行条件、等しい弦、点Pを各辺の直線について対称移動したP1からP5を組み合わせる最終問題です。
複数の比が与えられ、求めるP1P3/P1P5は√37/10となります。
一つの補助線だけで一気に解けるというより、円周上の関係、平行線、対称移動によって保存される距離を整理し続ける力が必要です。
前半と後半を比べると、後半は単純に「より難しい公式が必要」なのではありません。
見つけた発想を、より多くの条件の中で最後まで崩さず運ぶ難しさが大きくなっていると私は見ています。
得点分布はどうだった？4,921人中207人がAランク
第35回JMO予選では4,921人が受験し、6点以上のAランクは207人でした。最高得点は10点で1人、11点と12点は0人です。 数学オリンピック財団+1
応募者は5,358人で、欠席者が437人でした。
得点別では10点1人、9点13人、8点29人、7点47人、6点117人です。
つまり6点以上は、
1＋13＋29＋47＋117＝207人
となります。
受験者4,921人に対する割合は約4.2％です。
第35回では6点以上がAランク、3〜5点がBランク、0〜2点がCランクでした。
Bランクは1,731人、Cランクは2,983人です。特に0〜2点だけで全受験者の約60.6％を占めています。 数学オリンピック財団
この数字を見ると、「第1問や第2問なのだから普通の入試問題でいう易問だろう」と考えるのは適切ではありません。
JMOでは12問のうち数問を正確に解き切るだけでも、参加者全体の中ではかなり上位に入ります。
前年の第34回JMOと比べると何が見える？
2024年の第34回JMOでは4,611人が参加し、Aランクとなる6点以上は137人でした。
第35回は4,921人中207人です。Aランクの割合を計算すると、第34回の約3.0％から第35回は約4.2％へ上昇しています。 数学オリンピック財団
人数では70人増えています。
ただし、ここから単純に「2025年の方が簡単だった」と断定することはできません。
大会ごとに問題構成、参加者層、得点分布が異なるからです。
むしろ私が興味深いと感じるのは、6点以上の人数は増えたのに、11点・12点の満点近辺は一人もいなかったことです。
これは、前半などで得点を積み重ねられた受験者は一定数いた一方、全12問を横断して高得点まで到達する壁は非常に高かったことを示す材料になります。
本選受験資格者は209人でした。
Aランク207人に、予選免除者2人を加えた人数です。したがって「本選へ進んだのは6点以上209人」と理解すると正確ではありません。
予選で6点以上だったのは207人、本選受験資格者全体は免除者を含め209人と分けて覚えておくとよいでしょう。 数学オリンピック財団
第35回JMO予選から何を学ぶ？12問に共通する「発想の翻訳」
私見では、第35回JMO予選を復習するときは、答えより「問題を何へ言い換えたか」を記録する方が学習効果は高いと考えます。
第1問は「7個の数字を並べる問題」から、「最も制約の強い7を置く問題」へ変わります。
第2問は「四つの整数」から、「3と5の指数の偶奇」へ変わります。
第3問は「6枚のピースを並べる問題」から、「同じ構造が繰り返される問題」へ変わります。
第4問は「五種類の余り」から、「60周期の分類」へ変わります。
第5問は複雑な円の図から、「相似による辺の比」へ変わります。
第6問は数列操作から、「2で何回割り切れるか」という分類へ変わります。
私はこの変化を「発想の翻訳」と捉えています。
数学オリンピックの問題を初めて見ると、特殊な図形や見慣れない操作が並び、「自分の知っている数学とは別世界だ」と感じることがあります。
しかし一段ずつほどくと、平方数、素因数分解、最小公倍数、相似、整数の偶奇など、入口そのものは高校までに親しんだ考え方であることも少なくありません。
差が生まれるのは、知識の量だけではなく、どの知識へ問題をつなぎ直すかという部分です。
得点分布から考える過去問の使い方
第35回では0〜2点が約6割でした。
この事実を考えると、初挑戦で1問や2問しか解けなかったとしても、その結果だけで「数学オリンピックには向いていない」と判断する必要はないでしょう。
一方で、私は「時間をかければ全問解けるはず」と楽観的に考えるのも違うと思います。
後半には、高度な構造把握と粘り強い論理展開が必要な問題が並びます。
そこで過去問練習では、本番形式と復習形式を分けるのがおすすめです。
本番を想定するときは3時間という制限の中で、解けそうな問題を見つけ、最後の答えまで到達する判断力を鍛えます。
復習するときは時間制限を外し、「なぜ最初の方法では進まなかったのか」「どんな言い換えをすると整理できたのか」を確認します。
たとえば第2問で44という数字だけを覚えても、次の大会ではほとんど役に立ちません。
しかし「平方数なら素因数の指数の偶奇を見る」という発想を持ち帰れば、まったく別の問題でも再利用できます。
第4問なら49ではなく「複数の余り条件は最小公倍数を周期にする」、第6問なら1064ではなく「反復操作では変わりにくい性質や分類基準を探す」という形で残します。
年齢を重ねてから学び直している私自身も、一度に難問全体を理解しようとすると、肝心の一手がぼやけてしまうことがあります。
そこで一問の復習から一つの発想だけ持ち帰る。その方法なら、問題の難しさに圧倒されず、次に使える数学が少しずつ増えていきます。
まとめ｜数学オリンピック2025予選問題は「答え」と「着眼点」をセットで復習する
数学オリンピック2025予選問題としてこの記事で扱ったのは、2025年1月13日に実施された第35回JMO予選です。
試験は13時から16時までの3時間で、全12問、各1点、合計12点。解答用紙には答えのみを記入する形式でした。
公式解答は第1問から順に、72通り、44個、512通り、49個、15/11、1064、(20!)³通り、2057、2√61、858個、2⁶⁸(2¹⁰²−1)/3、√37/10です。 数学オリンピック財団
得点分布では4,921人が受験し、6点以上のAランクが207人。最高得点は10点の1人で、11点と12点は0人でした。
本選受験資格者は予選免除者2人を加えた209人です。 数学オリンピック財団+1
全12問を眺めると、配置を制約へ、平方数を指数へ、余りを周期へ、図形を比へ、操作を整数の分類へ変える「発想の翻訳」が繰り返し現れます。
過去問へ取り組むときは、正解したかどうかだけで終わらせず、「この問題では、何を何へ言い換えたのか」を一つ書き残してみてください。
答えの数字は忘れても、問題を見る視点は次の一問へ持っていけます。それこそが数学オリンピックの過去問を学習材料として使う大きな価値だと、私は考えています。
よくある質問
数学オリンピック2025予選は何問・何時間でしたか？
第35回JMO予選は全12問・3時間です。
2025年1月13日13時から16時まで実施され、各問1点の合計12点、答えのみを解答用紙へ記入する形式でした。 数学オリンピック財団
数学オリンピック2025予選は何点で本選に進めましたか？
第35回JMOでは6点以上の207人がAランクでした。
本選受験資格者は、この207人に予選免除者2人を加えた209人です。したがって、予選得点によるAランクと本選受験資格者総数は分けて見る必要があります。 数学オリンピック財団+1
2025年11月16日のJMO予選とは別の大会ですか？
はい。2025年1月13日に行われたのが第35回JMO（2025年大会）です。
2025年11月16日に行われた予選は、日程変更後の第36回JMO（2026年大会）に当たります。「数学オリンピック2025予選問題」を探すと両方が表示されることがあるため、回次と実施日を確認すると混同を防げます。 数学オリンピック財団+1
執筆：天水健太郎（元行政職員・生涯学習コラムニスト）
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