第36回JMO予選は2025年11月16日に実施され、前半6問では整数・幾何・合同式など幅広い発想が問われました。
数学オリンピック2026予選問題の第1～6問の答えは、(1,36,3)、91、11√6／24、729、(4,12,5)と(17,12,5)、√41−3です。ここでは答えだけでなく、「どこに気付けば解法が動き始めるのか」を順に解説します。
数学オリンピック2026予選問題とは？第36回JMOの日程と公式解答
この記事で扱う「数学オリンピック2026予選問題」は、2026年の第36回日本数学オリンピック（JMO）の予選問題です。
少し紛らわしいのですが、予選そのものは2026年ではなく、2025年11月16日（日）に実施されました。数学オリンピック財団の公式問題には、12問を3時間で解き、各問1点、解答用紙には答のみを記入する形式だったことが明記されています。数学オリンピック財団
一方、2026年11月15日（日）13時～16時に実施予定なのは、次の第37回JMO予選です。「2026年大会の第36回JMO」と「2026年11月に実施される第37回JMO」を混同しないようにしましょう。数学オリンピック財団+1
第36回予選の公式解答は次の通りです。
問題 主な題材 公式解答
第1問 整数・累乗 (1,36,3)
第2問 平方根・整数部分 91
第3問 円・面積比・方べき 11√6／24
第4問 長方形・最大値 729
第5問 整数・合同式 (4,12,5)、(17,12,5)
第6問 平行四辺形・合同・相似 √41−3
第7問 円環配置・組合せ 2×C(2026,52)通り
第8問 数列・倍数 48000
第9問 幾何 48√7／25
第10問 格子点・凸多角形 650
第11問 数列・組合せ 9980×19²³個
第12問 整数・指数 2¹²⁷×641⁶⁴¹
この解答一覧は、数学オリンピック財団が公開している第36回JMO予選の解答用紙と照合しています。数学オリンピック財団
本記事では、公式問題・公式解答・公式予選結果・次回大会の募集要項を基礎資料として事実関係を確認しました。そのうえで、第1～6問について実際に式や図形関係を追い、「なぜその一手を選ぶのか」が分かるよう解法を組み直しています。
前半6問を眺めると、題材はかなり違います。
しかし私は、解いていく過程を比較してみて、共通する特徴が一つあると考えています。
それは、問題文に書かれた条件を、そのまま計算するのではなく、扱いやすい別の形に変えることです。
第1問では累乗を「大きさ」に、第3問では面積を「長さの比」に、第5問では共通の約数を「合同式」に変えます。
ただし、問題別の正答率は公表されていません。そのため、「この翻訳力が実際に得点を分けた」と統計的な事実として断定することはできません。
あくまで前半6問の解法を比較したうえで見えてくる、私なりの出題分析として読んでいただければと思います。
第1問から第3問はどう解く？2026の性質と面積比に注目
第1問｜a²⁰を計算する前に大きさで候補を消す
第1問では、正の整数a、b、cが
a²⁰＋b²＋c⁶＝2026
を満たすとき、すべての組を求めます。公式解答は(1,36,3)です。数学オリンピック財団+1
未知数が三つありますから、最初は場合分けが多そうに見えます。
ところが、a²⁰という非常に大きな指数があります。
もしaが2以上なら、
2²⁰＝1,048,576
です。
これだけで2026をはるかに超えますから、aについて詳しく調べる必要はありません。
したがって、
a＝1
です。
元の式は
b²＋c⁶＝2025
となります。
次にcを考えます。
cが4以上なら、
4⁶＝4096＞2025
ですから不可能です。よってcは1、2、3のいずれかに絞られます。
c＝1なら、
b²＝2024
です。
c＝2なら、
b²＝2025−64＝1961
です。
44²＝1936、45²＝2025なので、2024も1961も平方数ではありません。
一方、c＝3なら、
c⁶＝3⁶＝729
ですから、
b²＝2025−729＝1296＝36²
となります。
したがって、
(a,b,c)＝(1,36,3)
が唯一の答えです。
この問題の入口は、三つの未知数を同時に追いかけることではありません。
「指数が大きな項は、最小の候補でもどこまで大きくなるか」を見ることです。
方程式を見るとすぐ計算を始めたくなりますが、数学オリンピックでは「計算しないで候補を消せるか」という確認が大きな助けになります。
第2問｜√2026を45＋小さな数と読む
第2問は、⌊n√2026⌋がnで割り切れなくなる最小の正整数nを求める問題です。
答えは91です。数学オリンピック財団+1
ここでは、
2026＝45²＋1
という形に気付くことが入口になります。
√2026を
√2026＝45＋δ
と置きます。
δは、
δ＝√2026−45
です。
有理化すると、
δ＝1／(√2026＋45)
となります。
45＜√2026＜46ですから、
90＜√2026＋45＜91
です。
逆数を取ると、
1／91＜δ＜1／90
が得られます。
この不等式が問題の中心です。
nが90以下なら、
nδ＜1
です。
したがって、
⌊n√2026⌋
＝⌊45n＋nδ⌋
＝45n
となります。
45nは当然nで割り切れます。
つまり、n＝1から90まではすべて条件を満たしません。
ではn＝91ではどうでしょうか。
1／91＜δですから、
91δ＞1
です。
またδ＜1／90なので、
91δ＜91／90＜2
です。
よって、
1＜91δ＜2
となり、
⌊91√2026⌋＝45×91＋1
です。
これは91で割ると1余ります。
したがって最小のnは、
91
です。
床関数が出てくると、一気に難しく見えるかもしれません。
しかし実際には、√2026が45よりどれだけ大きいのかを精密に挟む問題です。
第1問では2026−1＝2025＝45²という平方数が現れ、第2問では2026＝45²＋1を利用します。
同じ「2026」という数字を、別の角度から二度利用している点は、前半の構成を見るうえでも興味深いところです。
第3問｜面積2・9・3を線分の比へ変える
第3問では、円周上にA、B、C、D、Eがこの順にあり、BEとACの交点をP、BEとADの交点をQとします。
さらに、
BP＝PQ＝QE
で、三角形BCP、APQ、DEQの面積がそれぞれ2、9、3です。
求めるのはAC／ADで、公式解答は
11√6／24
です。数学オリンピック財団+1
ここでは、面積の数字をいきなり円の定理へ結びつけるのではなく、まず高さの比に変えるのが分かりやすいでしょう。
BP＝PQ＝QE＝x
と置きます。
三角形BCPと三角形APQを考えます。
BE上にあるBPとPQをそれぞれ底辺にすると、どちらも底辺の長さはxです。
底辺が等しい三角形では、面積比は高さの比になります。
面積が2：9ですから、CとAから直線BEまでの高さの比も
2：9
です。
しかもA、P、Cは一直線上にあります。
同じ直線AC上では、Pからの距離と直線BEまでの高さが比例するため、
PC：PA＝2：9
となります。
PC＝2k、PA＝9k
と置けば、
AC＝11k
です。
同じ考え方を三角形APQとDEQに使います。
PQ＝QEなので、面積9：3から高さの比は
3：1
です。
A、Q、Dは一直線ですから、
AQ：QD＝3：1
となります。
AQ＝3ℓ、QD＝ℓ
とすれば、
AD＝4ℓ
です。
ここで初めて、円の性質を使います。
点Pから円へ引かれた二本の割線について、方べきの定理より、
PB×PE＝PA×PC
です。
PB＝x、
PE＝PQ＋QE＝2x
なので、
2x²＝9k×2k＝18k²
となります。
次に点Qについて、
QB×QE＝QA×QD
です。
QB＝BP＋PQ＝2x、
QE＝x
ですから、
2x²＝3ℓ×ℓ＝3ℓ²
となります。
したがって、
18k²＝3ℓ²
より、
ℓ²＝6k²
です。
長さは正なので、
ℓ＝√6k
となります。
よって、
AC／AD
＝11k／4ℓ
＝11／(4√6)
＝11√6／24
です。
第3問で大切なのは、円を見た瞬間に円周角を探すことではありません。
面積→高さ→線分比→方べき
という順に、情報を一段ずつ使いやすい形へ移していきます。
私が前半6問を「翻訳の練習」と捉える理由が、もっとも分かりやすく表れている一問です。
第4問から第6問はどう解く？合同条件・合同式・補助点が鍵
第4問｜長方形の「合同しない」を1～9の使い方へ変える
第4問は、縦横の切れ目で大きな長方形を小長方形へ分けます。
すべての小長方形の辺は1以上9以下の整数で、異なる二つの小長方形は合同ではありません。この条件で、元の長方形の面積を最大にします。
答えは729です。数学オリンピック財団+1
縦方向に並ぶ幅を
w₁、w₂、……
横方向に並ぶ高さを
h₁、h₂、……
とします。
まず、幅には同じ数字を二度使えません。
同じ幅が二つあれば、同じ高さとの組み合わせによって合同な小長方形ができてしまうからです。
高さについても同じです。
したがって、幅側、高さ側ではそれぞれ1～9の異なる整数を使うことになります。
さらに重要なのが、幅側と高さ側の共通部分です。
たとえば幅側にも高さ側にも4と7があれば、
4×7
と
7×4
という二つの小長方形ができます。
向きを90度回転させれば、この二つは合同です。
したがって、幅に使う数字の集合と高さに使う数字の集合が共通して持てる整数は、高々一つです。
1から9までの和は、
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45
です。
一つだけ重複させられるなら、合計を最大にするには最大の9を重複させます。
元の長方形の幅をW、高さをHとすると、
W＋H≦45＋9＝54
です。
面積はWHです。
和が54以下の二つの正の数の積は、両方が27のとき最大になるので、
WH≦27×27＝729
となります。
あとは729が実際に作れることを確かめなければなりません。
たとえば幅に
9、8、6、4
を使えば合計27です。
高さに
9、7、5、3、2、1
を使っても合計27です。
両方で重なる数字は9だけなので、異なる二つの小長方形が回転によって合同になることもありません。
したがって、
最大面積は729
です。
第4問は「長方形の問題」に見えますが、解法の核心は図形計算ではありません。
合同しないという条件を、1～9の整数をどう配置できるかという組合せ条件へ変えることにあります。
見た目の分野と、実際に使う考え方がずれる典型的な問題です。
第5問｜共通約数から13を取り出して変数を絞る
第5問では、1以上17以下の整数(x,y,z)について、
xy＋4、yz＋5、zx＋6、xyz＋7
をすべて割り切る2以上の整数が存在する組を求めます。
公式解答は、
(4,12,5)、(17,12,5)
の2組です。数学オリンピック財団+1
ここで注意したいのは、最初から「共通に割る素数をpとする」と決めないことです。
条件に書かれているのは、2以上の整数が共通に割り切るということです。
そこで、その共通約数をdとします。
dを法として、
xy≡−4
yz≡−5
zx≡−6
xyz≡−7
です。
最初の三つを掛けると、
(xyz)²≡(−4)(−5)(−6)
ですから、
(xyz)²≡−120
となります。
一方、
xyz≡−7
を二乗すると、
(xyz)²≡49
です。
したがって、
49≡−120
なので、
169≡0
となります。
つまり、
dは169＝13²の約数
です。
dは2以上ですから、候補は13または169です。
169が四つの式を割る場合でも13は当然それらを割りますので、ここからは13を法として調べれば十分です。
yz≡−5
の両辺にxを掛けると、
xyz≡−5x
です。
一方でxyz≡−7なので、
5x≡7 (mod 13)
となります。
これを解くと、
x≡4 (mod 13)
です。
1≦x≦17ですから、
x＝4または17
となります。
同じように、
zx≡−6
へyを掛けると、
xyz≡−6y
です。
よって、
6y≡7 (mod 13)
から、
y≡12 (mod 13)
となります。
範囲内では、
y＝12
だけです。
さらに、
xy≡−4
へzを掛けると、
xyz≡−4z
ですから、
4z≡7 (mod 13)
となり、
z≡5 (mod 13)
です。
したがって、
z＝5
です。
候補は
(4,12,5)、(17,12,5)
となり、実際に代入すれば、どちらの組でも四つの式が13で割り切れることを確認できます。
第5問で印象的なのは、x、y、zを一つずつ探す前に、
169＝13²
という数だけが先に現れることです。
合同式には「余りを求める計算」という印象がありますが、ここではむしろ、変数を消して共通約数の正体を絞る道具として働いています。
この見方を持っておくと、「いくつもの式を同じ整数が割る」という条件に出会ったとき、次の一手を考えやすくなります。
第6問｜BMを延長してGを作ると図形がつながる
第6問は平行四辺形ABCDで、辺CD上に点Eがあります。
AEの中点をMとし、直線BMと辺ADの交点をFとします。
条件は、
CE＝DF＝3、MB＝5、MC＝4
です。
求めるABの長さは、
√41−3
です。数学オリンピック財団+1
この問題では、図に最初から描かれていない点を一つ補います。
直線BMと直線CDの交点をG
としましょう。
MはAEの中点なので、
AM＝ME
です。
また、平行四辺形ですから、
AB∥CD
です。
したがってAB∥EGとなります。
A、M、Eは一直線、B、M、Gも一直線です。
これらの平行関係と角の対応を使うと、
三角形ABMと三角形EGMは合同
になります。
そのため、
BM＝MG
です。
MB＝5なので、
MG＝5
となります。
また、
AB＝EG
です。
AB＝x
と置きます。
平行四辺形なので、
CD＝AB＝x
です。
一方、
CE＝3
であり、
EG＝x
ですから、
CG＝x＋3
となります。
CD＝xなので、
DG＝CG−CD＝3
です。
条件からDF＝3でしたので、
DF＝DG
となります。
したがって三角形DFGは二等辺三角形です。
さらに、
DFはAD上にあり、
AD∥BC
です。
D、G、Cは一直線ですから、三角形DFGと三角形CBGは相似になります。
DF＝DGであることが相似先へ対応するため、
CB＝CG
となります。
つまり三角形CBGも二等辺三角形です。
BM＝MG＝5ですから、MはBGの中点です。
二等辺三角形CBGで、頂点Cから底辺BGの中点Mへ引いた線CMはBGと垂直になります。
よって三角形CMGは直角三角形です。
CM＝4、
MG＝5
ですから、三平方の定理より、
CG²＝4²＋5²＝41
です。
したがって、
CG＝√41
となります。
先ほど、
CG＝x＋3
でした。
よって、
x＋3＝√41
ですから、
AB＝x＝√41−3
となります。
第6問には、合同、相似、二等辺三角形、三平方の定理と、多くの基本事項が登場します。
しかし、最初からすべてが見えているわけではありません。
BMをCDまで延ばしてGを作ることで、平行四辺形の平行関係が三角形として使えるようになり、その後の連鎖が始まります。
図形問題で補助線を考えるとき、「新しい線を自由に引く」だけでなく、すでにある直線を延長すると何と交わるかを見ることも大切です。
第36回JMO予選の難易度は？得点分布を前年と比較
第36回JMO予選には4,525人が応募し、3,992人が参加しました。
欠席者は533人です。
Aランクは7点以上の170人で、内訳は7点105人、8点45人、9点18人、10点1人、11点1人、12点0人でした。
Bランクは3～6点の1,706人、Cランクは0～2点の2,116人です。本選受験資格者は予選免除者を含め173人でした。数学オリンピック財団+1
参加者3,992人のうち0～2点は2,116人ですから、
約53.0％が2点以下
だった計算になります。
また7点以上のAランク170人は、参加者の
約4.26％
です。
この数字だけを見ると、7点を取ることがかなり狭い門だったことは分かります。
ただし、ここで「第36回は前年より明らかに難しかった」と単純に結論づけるのは慎重であるべきでしょう。
第35回JMOでは4,921人が参加し、Aランクは6点以上の207人でした。Aランクの割合は約4.21％です。数学オリンピック財団+1
つまり、
**第35回：約4.21％
第36回：約4.26％**
で、Aランクに入った参加者の割合そのものはほぼ同じです。
一方、0～2点の割合を比べると、第35回は2,983人／4,921人で約60.6％、第36回は2,116人／3,992人で約53.0％でした。
第36回ではAランクの境界点こそ6点から7点へ上がっていますが、低得点層の割合はむしろ前年より小さくなっています。
これは興味深い点です。
「Aランク境界が1点上がった＝試験全体が1点分難しくなった」わけではありません。
得点分布の形そのものが前年と違った、と考える方が自然です。
さらに、財団が公表しているのは総合得点の分布であり、各問題の正答率までは分かりません。
そのため、「第1問は何％が正解した」「第6問が合否を分けた」といった分析を公式データから導くことはできません。
私見では、この点を区別することは過去問分析でとても大切です。
公式に確認できる事実は「7点以上が170人だった」というところまでであり、「なぜその分布になったか」は問題内容を読んだうえでの分析になります。
12問を180分で解きますから、単純平均では1問15分です。
ただし、JMOではすべての問題へ15分ずつ均等に時間を配るより、入口が見えた問題を先に確実に解く方が現実的でしょう。
これは得点分布から直接証明できる事実ではなく、単答式12問を3時間で解く試験形式を踏まえた私見です。
前半6問の「最初の一手」は？過去問対策で残したいポイント
第1～6問をもう一度長い解答として覚える必要はありません。
むしろ復習時には、「何に気付いたことで問題が動いたか」を短く残すと、別の過去問でも応用しやすくなります。
問題 答え 最初の一手
第1問 (1,36,3) a²⁰の大きさからa＝1に絞る
第2問 91 √2026＝45＋δと置き、1／91＜δ＜1／90を作る
第3問 11√6／24 等しい底辺を使い、面積比を線分比へ変える
第4問 729 「合同しない」を1～9の重複条件へ変える
第5問 2組 共通約数dを法として169≡0を導く
第6問 √41−3 BMをCDまで延長して補助点Gを置く
こうして比べると、前半6問は同じ公式を繰り返し使う構成ではありません。
第1問の大小評価から、第2問の無理数評価、第3問の円、第4問の整数配置、第5問の合同式、第6問の平面幾何まで、発想を切り替える必要があります。
その一方で、解法の入口には共通点があります。
与えられた条件を別の形へ言い換えてから計算することです。
私は公式問題を第1問から第6問まで解法の入口という観点で並べ直してみて、ここが今回の前半の学習価値だと感じました。
たとえば第5問の完成解答を丸ごと暗記するより、
「同じ整数が四つの式を割るので、合同式にする」
と一文で言える方が、次の類題で役立ちます。
第6問も、
「平行関係を三角形に使いたいのでBMをCDまで延ばす」
と覚えておけば十分です。
過去問を解いた後、「答えを覚えたか」ではなく、最初の一手を自分の言葉で説明できるかを確かめるとよいでしょう。
第36回の後半には、円環上の数え上げ、数列、幾何、格子点、組合せ、整数・指数の問題が続きます。公式問題全体を見ても、特定分野だけに集中すれば対応できる構成ではありません。数学オリンピック財団+1
したがってJMO対策では、整数、幾何、組合せ、代数を広く学びながら、「どの道具を使う問題なのか」を見分ける練習が重要だと考えます。
数学を学び直している方なら、一度に6問すべてを完全に理解しなくても構いません。
第1問から「大きさで候補を削る」、第3問から「面積比を線分比にする」というように、一問から一つの考え方を持ち帰るだけでも十分に価値があります。
数学オリンピック2026予選問題から何が分かる？私見と今後の対策
第36回JMO予選の前半6問を通して、私が特に重要だと考えるのは、難しい公式を大量に知っていることよりも、基本事項を適切な形で取り出す力です。
第1問で必要なのは高度な整数論ではなく累乗の大小比較、第2問では平方数と不等式、第3問では三角形の面積と方べきです。
第4問では整数の集合、第5問では合同式、第6問では合同・相似・三平方の定理が中心になります。
一つ一つを見ると、高校数学までに出会う基本事項が少なくありません。
難しいのは、その知識が問題文のどこに隠れているかを見つける部分です。
私は長く学びを続ける中で、解説を読んだ後にすぐ次へ進むより、
「なぜこの解法を最初に思いつくのか」
を短く言い直す方が、後から思い出しやすいと感じています。
第36回予選でも、その復習方法がよく合います。
ただし、前半6問の解説だけから「本番では前半6問をすべて取るべきだった」とまで言うことはできません。
問題別正答率が公開されていない以上、どの問題を何人が解けたかは不明だからです。
言えるのは、第36回では7点以上がAランクとなり、その人数が170人だったという公式結果までです。数学オリンピック財団
そのうえで私見を申し上げれば、単答式の予選では、一問に固執するよりも「入口が見える問題を先に確保する」意識が有効だと考えます。
第1問なら大小評価、第2問なら45²＋1、第5問なら共通約数というように、問題を読んだ直後に使える情報を探します。
見えなければ一度離れ、別の問題を確認する。
180分という時間の中では、解法を考える力だけでなく、どこに時間を使うかという判断も必要になります。
次の第37回JMO予選は、2026年11月15日（日）13時～16時に予定されています。
募集要項では、予選は3時間12問の単答式で、前提知識は高校程度、題材として整数問題、幾何、組合せ、式変形などが挙げられています。微積分、確率統計、行列は範囲外とされています。数学オリンピック財団
第36回の前半6問を復習するときも、「答えを再現できるか」だけでなく、
どの条件を、何へ変換したのか
を確かめてみてください。
第1問から第6問までには、その練習材料がかなり豊富に含まれています。
まとめると、数学オリンピック2026予選問題である第36回JMO予選は、2025年11月16日に実施されました。前半6問の公式解答は(1,36,3)、91、11√6／24、729、(4,12,5)と(17,12,5)、√41−3です。解法を比べると、大小評価、面積比、整数配置、合同式、補助点などへ条件を置き換えることが共通する重要な入口だと考えられます。得点分布については、7点以上170人という事実と問題別の難易度分析を混同せず、公式データと私見を分けて読むことも大切です。
よくある質問
数学オリンピック2026予選はいつ実施されましたか？
2026年の第36回日本数学オリンピック（JMO）予選は、2025年11月16日（日）に実施されました。
3時間で12問を解き、各問1点、解答は答のみを記入する形式でした。数学オリンピック財団
第36回JMO予選は何点でAランクでしたか？
第36回JMO予選は7点以上がAランクで、170人が該当しました。
参加者は3,992人で、Aランク者の割合は約4.26％です。本選受験資格者は予選免除者を含め173人でした。数学オリンピック財団
次の第37回JMO予選はいつですか？
第37回日本数学オリンピック予選は、2026年11月15日（日）13時～16時に予定されています。
この記事で扱った第36回JMOの予選とは別の大会ですので、過去問を探す際は「年」だけでなく「第36回」「第37回」という大会回数も確認すると混乱を防げます。数学オリンピック財団+1
執筆：天水健太郎（あまみずけんたろう）／元行政職員・生涯学習コラムニスト
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